Урок 10. Признаки делимости чисел

— Угощайтесь, — сказал Винни-Пух, протягивая Пятачку и Сове корзинку, в которой лежало 25 орехов.

— Спасибо, — сказала мудрая Сова, — но, извини, Пух, 25 орехов не получится поровну разделить ни на двоих, ни на троих.

— Ух, ты! – воскликнул изумленный Пятачок, — а как ты узнала, Сова, что 25 не делится нацело ни на 2, ни на 3?

— В этом нет ничего сложного, — продолжала Сова, — если знать признаки делимости чисел.



— Научи, научи и нас! – закричали медведь с поросёнком в один голос.

Хорошо! Тогда слушайте внимательно.

Мы уже с вами изучили такие арифметические действия, как сложение, вычитание, умножение и деление.

Складывать и умножать можно любые числа, здесь нет никаких ограничений.

Вычитать тоже можно любые числа, но мы пока только умеем вычитать те числа, когда уменьшаемое больше или равно вычитаемому.

В делении есть несколько важных ограничений.

Во-первых, делить на ноль нельзя!

Во-вторых, нацело можно разделить далеко не любые числа.

Для того, чтобы понять делится одно число на другое, надо знать признаки делимости чисел.

На прошлом уроке мы познакомились с чётными и нечётными числами. Чётные (Ч) и нечётные (Н) числа имеют ряд очень интересных и легко запоминающихся свойств:

  • — сумма чётных чисел будет чётным числом: Ч+Ч=Ч;
  • — разность чётных чисел будет чётным числом: Ч-Ч=Ч;
  • — произведение чётных чисел будет чётным числом: Ч·Ч=Ч;
  • — сумма нечётных чисел будет чётным числом: Н+Н=Ч;
  • — разность нечётных чисел будет чётным числом: Н-Н=Ч;
  • — произведение нечётных чисел будет нечётным числом: Н·Н=Н.

Если одно число чётное, а второе число нечётное, тогда:

  • — их сумма будет нечётным числом: Ч+Н=Н;
  • — их разность будет нечётным числом: Ч-Н=Н; Н-Ч=Н;
  • — их произведение будет чётным числом: Ч·Н=Ч.

Признаки делимости по последней цифре числа

Признак делимости на 1. Любое число без остатка делится на 1!

Здесь всё просто, при делении на 1 и деления-то никакого, по сути, нет, — всё, что имеется, отдаётся одному.

Признак делимости на 2. На 2 без остатка делится любое чётное число.

На уроке о чётных и нечётных числах рассказывалось, что любое чётное число является парным, а пара, как известно, — это 2. Поэтому, в любом чётном умещается какое-то количество пар. Поскольку, чётными числами являются все числа, оканчивающиеся на цифры 0, 2, 4, 6, 8, то все эти числа, конечно же, нацело делятся на 2.

Мы знаем, что ноль – это «пустое место». 0 не является ни натуральным, ни чётным, ни нечётным числом. Такой себе «изгой» среди чисел. Но, цифра 0 играет очень важную роль в мире чисел. Напомним, что цифра 0 была придумана специально для сохранения разрядности числа, в котором какой-то из  разрядов отсутствует. Например, ноль в числе 10 показывает, что в нем отсутствует разряд единиц, а в числе 85045 – разряд сотен.

Если какое-то число оканчивается на 0, значит в нём нет разряда единиц, т. е. это число состоит из целого числа десятков – число 70 состоит из 7 десятков; число 180 – из 18 десятков; число 540 – из 54 десятков и т. д. Поскольку в таких числах целое число десятков, то они будут делиться нацело на 10!

Признак делимости на 10. Любое число, оканчивающееся на 0, делится нацело на 10.

Интересный нюанс – в числе 10 «умещается» ровно два числа 5, ведь 5+5=10. Значит, число, оканчивающееся на 0 будет нацело делится и на 5!

Еще один интересный момент – складывая числа 5,  мы будем получать числа, в которых последней цифрой будет либо 0, либо 5.

Признак делимости на 5. Нацело на 5 будут делиться те числа, которые оканчиваются на 5 или 0.

Признаки делимости по сумме цифр

Итак, мы узнали признаки делимости чисел на 1, 2, 5, 10.

К сожалению, по последней цифре никаких признаков делимости больше нет.

Зато есть другие признаки делимости, пусть они и не такие простые.

Признак делимости на 3 и 9. Любое число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3. Любое число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9.

2982 делится на 3, поскольку 2+9+8+2=21; 21:3=7.

8703 делится на 9, поскольку 8+7+0+3=18; 18:9=2.

Если число не делится нацело на 3 или 9, то остаток деления   его суммы цифр на 3 или 9 будет остатком от деления на 3 или 9 самого этого числа.

Например, 281 не делится ни на 3, ни на 9, поскольку 2+8+1=11, а 11 не делится ни на 3, ни на 9. При делении 11:3 и при делении 11:9 остатком будет число 2. Значит и при делении 281:3 и 281:9 остатком будет число 2.

Теперь мы знаем признаки делимости чисел на 1, 2, 3, 5, 9, 10.

Признаки делимости чисел 4, 6, 7, 8

Из первого десятка мы еще не определили признаки делимости на 4, 6, 7, 8.

Признак делимости на 4. Любое число делится нацело на 4, если нацело делится число, записанное двумя его последними цифрами.

Например, 5908904 делится нацело на 4, поскольку 04 делится на 4 (ноль просто отбрасываем). Число 890941 на 4 нацело не делится, поскольку 41:4 не делится.

Признак делимости на 6 будет комбинироваться из признаков делимости на 2 и на 3, т. к. 2·3=6.

Признак делимости на 6. Любое число делится нацело на 6, если оно является чётным и сумма его цифр делится на 3.

Например, 441 на 6 не делится, поскольку является нечётным. Число 442 на 6 не делится, поскольку сумма его цифр не делится на 3: 4+4+2=10. Число 444 на 6 делится – оно чётное и сумма его цифр делится на 3: 4+4+4=12.

Признак делимости на 8. Любое число делится на 8, если нацело делится число, записанное тремя его последними цифрами.

Например, 48119 на 8 не делится, т. к. 119 на 8 не делится. Число 450808 на 8 делится, т. к. 808 делится на 8.

Из первого десятка осталось только число 7, на которое мы не назвали признака делимости. Хоть число 7 у многих народов считается «счастливым числом», но признака делимости на него в первой тысячи нет.

Признак делимости на 7. Если число больше 1000, то для того, чтобы узнать делится ли такое число нацело на 7, надо:

  1. Отделить три последние цифры числа;
  2. Из полученных двух чисел нужно от большего отнять меньшее;
  3. Если полученное число делится на 7, то и всё число будет делиться на 7.

Например, узнаем делится ли на 7 число 35265:

  1. Отделяем три последние цифры и получаем два числа 35 и 265;
  2. 265-35=235;
  3. 235:7 не делится, значит и число 35265 на 7 не делится.

Признаки делимости на 11

Для того, чтобы узнать делится ли число на 11, надо:

  1. найти сумму цифр числа, стоящих на нечётных местах, начиная справа (с разряда единиц);
  2. найти сумму цифр, стоящих на чётных местах;
  3. из большего числа вычесть меньшее, если полученная разность делится на 11, то и всё число делится на 11.

Например, число 21456490:

  1. 0+4+5+1=10.
  2. 9+6+4+2=21.
  3. 21-10=11; 11:11=1