Урок 6. Секреты быстрого счёта в уме

Пятачок, был продвинутой свиньёй, и после всех уроков Совы, на которых она обучала премудростям сложения и умножения, резонно заметил: «А какой смысл учить все эти таблицы сложения и умножения, если можно на калькуляторе быстро посчитать то, что нужно?».



Дело в том, Пятачок, — сказала мудрая Сова, — что зачастую гораздо быстрее посчитать устно нужный результат, нежели доставать калькулятор и тыкать в него пальцами или тем, что у тебя есть вместо них. Но, для этого полезно знать маленькие «секреты» быстрого счёта.

Для начала напомним переместительный и сочетательный законы сложения и умножения:

A+B = B+A
A+(B+C) = (A+B)+C
A·B = B·A
A·(B·C) = (A·B)·C

Пришло время познакомиться с распределительным законом умножения, который гласит:

Произведение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое слагаемое.

A·(b+c) = A·b+A·c

Зная эти три важных закона, а также таблицу умножения, во многих случаях можно очень быстро сложить или умножить числа в «бытовых» пределах, как правило, это числа до 10 000.

Начнем с самого простого.

Секреты умножения на круглые числа

Для того, чтобы умножить любое число на 10 надо просто к этому числу с правой стороны добавить один ноль. Соответственно, умножая на 100 – добавляем в конец числа два нуля; на 1000 – три нуля и т. д.:

25·10 = 250
34·100 = 3 400
89·1000 = 89 000

Числа 10, 100, 1000 и т. д. обычно называют «круглыми» числами.

Зная три закона и «секрет» умножения на «круглые» числа, можно достаточно быстро и легко провести такие вычисления:

60·8 = 6·8·10 = 54·10 = 540

80·90 = 8·9·10·10 = 72·100 = 7200

2548·7 = (2000+500+40+8)·7 = 2000·7+500·7+40·7+8·7 = 14 000 + 3 500 + 280 + 56 = (14 000 + 3 500) + (280 + 56) = 17 500 + 336 = 17 836

Секреты умножения чисел на 11

При умножении любого числа на 11 в конце произведения пишется последняя цифра множителя, а затем, справа налево суммы соседних цифр множителя, и заканчивается написание результата умножения первой цифрой множителя (возможно +1).

Как всегда, разберем столь сложное определение на примерах.

Пример 1. 45·11 = 495

  • В конце произведения пишем цифру 5:  **5
  • Далее пишем сумму цифр 4+5=9:  *95
  • Заканчиваем написание первой цифрой множителя: 495

Пример 2. 543·11 = 5973

  • ***3
  • 3+4=7: **73
  • 4+5=9: *973
  • 5973

Пример 3. 7939·11 = 87 321

  • ****1
  • 9+3=12: ***21 (единицу десятков переносим в следующий разряд)
  • 3+9+1=13: **321 (единицу переносим в следующий разряд)
  • 9+7+1=17: *7321 (единицу переносим в следующий разряд)
  • 7+1=8: 87321

Секрет умножения числа, оканчивающегося на 5 на самого себя

Для того, чтобы получить произведение числа, оканчивающегося на 5, на самого себя (получить квадрат числа), следует отбросить последнюю цифру 5, и перемножить оставшееся число на следующее за ним число, после чего дописать в конце получившегося числа 25.

Пример 1. 35·35 = 1 225

3·(3+1) = 12: 1225

Пример 2. 105·105 = 11 025

10·(10+1) = 110: 11025

Секреты умножения двузначных чисел

Если перемножаются два двузначных числа, у которых совпадают разряд десятков, и при этом сумма цифр, стоящих в разряде единиц, дают 10, то в получившимся произведении два последних разряда (единиц и десятков) составит произведение разрядов единиц множителей, а два старших разряда (сотен и единиц тысяч) составит произведение первого числа множителей (которое у обоих множителей одинаково) на следующее за ним число.

Понятно, что ничего не понятно, поэтому, разбираем на примерах:

Пример 1. 74·76 = 5624

  • 4·6 = 24: **24
  • 7·(7+1) = 56: 5624

Пример 2. 91·99 = 9009

  • 1·9 = 9: **09
  • 9·(9+1) = 90: 9009